İkinci Derece Kontrol Sisteminin Zaman Tepkisi (Çalışma Örneği)

Bir kontrol sisteminin derecesi, aktarım fonksiyonunun paydasındaki 's' nin kuvveti ile belirlenir.

Eğer bir kontrol sisteminin aktarım fonksiyonunun paydasındaki s'nin kuvveti 2 ise, bu sistem ikinci derece kontrol sistemi olarak adlandırılır.

Bir ikinci derece kontrol sisteminin aktarım fonksiyonunun genel ifadesi şu şekilde verilir

Burada, ζ ve ωn sırasıyla sistemin zayıflama oranı ve doğal frekansıdır (bu iki terimi daha sonra detaylı olarak öğreneceğiz).

Yukarıdaki formülü yeniden düzenleyerek, sistemin çıktısı şu şekilde verilir

Eğer sistemin girdisi birim adım fonksiyonu olarak kabul edilirse, o zaman sistemin çıkış denklemi şu şekilde yeniden yazılabilir

Yukarıdaki denklemin ters Laplace dönüşümünü alarak, şunu elde ederiz

Yukarıdaki c(t) çıkış ifadesi şu şekilde yeniden yazılabilir

Tepkinin hata sinyali e(t) = r (t) – c(t) şeklinde verilir, dolayısıyla.

Yukarıdaki ifadeden, sinyal hatasının ζ < 1 olduğunda üstel azalan büyüklükte salınıma sahip olduğu açıkça anlaşılıyor.

Salınım frekansı ωd ve üstel azalmanın zaman sabiti 1/ζωn şeklindedir.

Burada, ωd, salınımın sönümlenmiş frekansı olarak adlandırılır ve ωn ise salınımın doğal frekansıdır. ζ terimi, bu sönümü çok etkilediği için, bu terime sönüm oranı denir.

Çıkış sinyalinin farklı davranışları, sönüm oranının değerine bağlı olarak değişir ve her bir durumu ayrı ayrı inceleyelim.

Bu temele dayanarak, ikinci derece kontrol sisteminin zaman tepkisini analiz edeceğiz. Bu, ikinci derece kontrol sisteminin birim adım tepkisini frekans alanında analiz ederek, daha sonra zaman alanına dönüştürerek yapacağız.

İkinci Derece Sistemin Adım Tepkisi

Sönüm oranı sıfır olduğunda, yukarıdaki çıkış sinyali ifadesini şu şekilde yeniden yazabiliriz

Bu ifadede, üstel bir terim olmadığından, kontrol sisteminin zaman tepkisi, sıfır sönüm oranı olan birim adım giriş fonksiyonu için sönümlenmemiştir.

Otomatik Kontrol Sistemi kitabı, Hasan tarafından, sayfa 137, Şekil 6.4.3.

Şimdi, sönüm oranı birlik olduğunda durumu inceleyelim.



Bu çıkış sinyali ifadesinde, subjektif birim adım fonksiyonunda salınımlı bir kısım yoktur. Bu nedenle, bu ikinci derece kontrol sisteminin zaman tepkisi, kritik sönümlenmiş olarak adlandırılır.

Şimdi, sönümleme oranı birin üzerinde olduğunda, ikinci derece kontrol sisteminin birim basamak giriş fonksiyonuna karşı zaman tepkisini inceleyeceğiz.

Yukarıdaki denklemin her iki tarafının ters Laplace dönüşümünü alarak,


Yukarıdaki ifadede, iki zaman sabiti bulunmaktadır.

ζ'nin değeri birin çok üzerinde olduğunda, daha hızlı zaman sabitinin zaman tepkisine etkisi ihmal edilebilir ve zaman tepki ifadesi son olarak şu şekilde olur

IEE-Business kitabının 139. sayfasındaki Şekil 6.4.5

Kritik Sönümleme Zaman Tepkisi

İkinci derece kontrol sisteminin birim basamak giriş fonksiyonuna karşı zaman tepki ifadesi aşağıda verilmiştir.

Hata kısmındaki çıkış işaretindeki üssel terimin negatif kuvvet sabitinin tersi, aslında çıkış tepkisinin sönümlemesinden sorumludur.

Bu denklemde bu değer ζωn dir. Hata işaretindeki üssel terimin negatif kuvvet sabitinin tersi, zaman sabiti olarak bilinir.

Daha önce incelediğimiz gibi, ζ (ayrıca sönümleme oranı olarak da bilinir) değeri birin altında olduğunda, tepkinin salınımları 1/ζωn zaman sabitiyle üstel olarak azalır. Bu, alt sönümlü tepki olarak adlandırılır.

Öte yandan, ζ birin üzerinde olduğunda, sistemine verilen birim basamak girişinin tepkisi, içinde salınan bir kısmı göstermez.

Buna aşırı sönümlü tepki denir. Ayrıca, sönümleme oranı bir olduğunda, yani ζ = 1 olduğunda durumu da inceledik.

Bu durumda, tepkinin sönümlemesi sadece doğal frekansta ωn tarafından yönetilir. Bu koşuldaki gerçek sönümleme, tepkinin kritik sönümlemesi olarak bilinir.

Zaman tepkisi, kontrol sisteminin adım fonksiyonu girişine maruz kaldığında, sönümleme oranı (ζ) birden küçük olduğunda tepki içinde salınım parçası bulunur ve sönümleme oranı bir olduğunda bu salınım parçası tepkide bulunmaz.

Bu, sönümleme oranı bir olduğunda tepki içindeki salınım parçasının kaybolduğunu anlamına gelir. Bu nedenle, ζ = 1'deki tepkinin sönümü, kritik sönüm olarak bilinir.

Daha kesin bir şekilde, sönümleme oranı bir olduğunda, tepki kritik sönüm halindedir ve bu sönüm, kritik sönüm olarak adlandırılır.

Kritik sönümün zaman sabiti ile gerçek sönümün zaman sabitinin oranı, sönümleme oranı olarak bilinir. Zaman tepkisinin zaman sabiti, ζ ≠ 1 olduğunda 1/ζωn ve ζ = 1 olduğunda 1/ωn şeklindedir.

İkinci Derece Sistem Aktarım Fonksiyonu

İkinci derece kontrol sisteminin aktarım fonksiyonu için genel denklem şu şekilde verilir

Eğer ifadenin paydası sıfır ise,

Denklemin bu iki kökü veya s'nin bu iki değeri, o sistemin aktarım fonksiyonunun kutuplarını temsil eder. Köklerin gerçek kısmı, sönümü temsil ederken, sanal kısmı tepkinin sönük frekansını temsil eder.

Karakteristik denklemin kökleri, ωn'yi sabit tutarken, çeşitli ζ değerleri için ikinci derece kontrol sisteminin karşılık gelen zaman tepkisi aşağıda gösterilmiştir.

Hasan tarafından yazılmış otomatik kontrol sistemleri kitabı sayfa 140'daki Şekil 8.4.7.

İkinci derece kontrol sisteminin geçici tepki özellikleri.

Kontrol sisteminin performansı, birim adım giriş fonksiyonuna karşı geçici tepkiler cinsinden ifade edilebilir çünkü bu kolaylıkla oluşturulabilir.

Birim adım giriş sinyali verilen ve sistemin başlangıçta durumda olduğu varsayılan bir ikinci derece kontrol sistemini ele alalım. Yani sistemin tüm başlangıç koşulları sıfırdır. Sistemin zayıf sönümli koşuldaki zaman tepkisi karakteristiği aşağıda çizilmiştir.

Hasan tarafından yazılmış otomatik kontrol sistemleri kitabı sayfa 92'deki Şekil 2.17.

Geçici tepki karakteristiklerinde birçok yaygın terim bulunmaktadır ve bunlar şunlardır

1. Gecikme süresi (td) bir zaman tepki sinyalinin ilk salınımlı döngüsünde son değerinin %50'sine ulaşmak için gereken süredir.

2. Yükselme süresi (tr) alt sönümlenmiş bir zaman tepki sinyalinin ilk salınımlı döngüsünde son değerine ulaşmak için gereken süredir. Eğer sinyal aşırı sönümlenmişse, yükseltme süresi tepkinin son değerinin %10'dan %90'a kadar yükselmek için gereken süre olarak hesaplanır.

3. Zirve süresi (tp) tepkinin ilk zirvesine, yani ilk salınımlı döngüsünün zirvesine veya ilk aşırı yüklemeye ulaşmak için gereken basitçe süredir.

4. Maksimum aşırı yüklenme (Mp) zaman tepkisinin en yüksek zirvesinin büyüklüğü ile durağan durumun büyüklüğü arasındaki doğrudan farktır. Maksimum aşırı yüklenme, tepkinin durağan değerinin yüzdesi olarak ifade edilir. Tepkinin ilk zirvesi genellikle büyüklük olarak maksimum olduğundan, maksimum aşırı yüklenme, ilk zirve ile tepkinin durağan değerinin arasındaki normalleştirilmiş farktır.

• Durağanlaşma süresi (ts) bir tepkinin durağan hale gelmesi için gereken süredir. Durağanlaşmanın %2 ila %5 aralığında belirlenen değere ulaşmak ve bu değer içinde kalması için gereken süreye tanımlanır.

• Durağan hata (e ss ) sonsuz zaman aralığında gerçek çıkış ile istenen çıkış arasındaki farktır.

Yükselme Süresi Formülü

Birim adım giriş fonksiyonu olan alt sönümlenmiş ikinci derece kontrol sisteminin ifadesi,

Tanımın gerektirdiği gibi, Rice zamanlarındaki çıkış sinyali büyüklüğü 1'dir. Yani c(t) = 1, dolayısıyla

Zirve Süresi Formülü

Tanım gereği, zirve zamanında tepki eğrisi maksimum değerine ulaşır. Bu nedenle, o noktada,

Maksimum Aşırı Yükseltme Formülü

Zirve zamanının ifadesini çıktı tepkisi c(t) ifadesine koyduğumuzda, elde ederiz,

Yerleşme Süresi Formülü

Daha önce de belirtildiği gibi, bir tepkenin yerleşme süresi, tepkenin son değerinin yaklaşık %98'inden fazlasına ulaşması için geçen süredir.

Ayrıca, bu süre yaklaşık olarak bir sinyalin zaman sabitiyle dört katıdır. İkinci derece kontrol sisteminin zaman sabiti 1/ζ ωn olduğunda, yerleşme süresinin sonlanması şu şekilde verilebilir: