Üstel Fourier Serisi Analizi

Bir Gözden Geçirme ile Fourier Serisi

Eğer bir sürekli zaman sinyali x(t) için pozitif ve sıfırdan farklı bir T değeri varsa, bu sinyal periyodik olarak adlandırılır.

Bilindiği gibi herhangi bir periyodik sinyal, Dirichlet Koşullarını sağladığı sürece harmonik ilişkili sinusoidal veya karmaşık üstel şeklinde sınıflandırılabilir. Bu ayrıştırılmış gösterim FOURIER SERISI olarak adlandırılır.
İki tür Fourier Serisi gösterimi vardır. Her ikisi de birbirine eşdeğerdir.

• Üstel Fourier Serisi

• Trigonometrik Fourier Serisi

Her iki gösterim de aynı sonucu verir. Sinyal türüne bağlı olarak, uygun olan gösterimi seçeriz.

Bir periyodik sinyal, aşağıdaki üç aşamada Üstel Fourier Serisi cinsinden analiz edilir:

1. Periyodik Sinyalin Gösterimi.

2. Bir Periyodik Sinyalin Genlik ve Faz Spektrumu.

3. Bir Periyodik Sinyalin Güç İçeriği.

Periyodik Sinyalin Gösterimi

Bir periyodik sinyal, Fourier Serisinde iki farklı zaman alanında gösterilebilir:

1. Sürekli Zaman Alanı.

2. Ayrık Zaman Alanı.

Sürekli Zaman Alanı

Temel periyodu T olan bir periyodik sinyal x(t) in karmaşık Üstel Fourier Serisi gösterimi şöyledir:

Burada, C, Karmaşık Fourier Katsayısı olarak bilinir ve şu şekilde verilir:

Burada ∫0T0, herhangi bir periyodun integralini ifade eder ve, 0 to T0 veya –T0/2 to T0/2 genellikle integralin sınırları olarak kullanılır.
Denklem (3), denklem (2) nin her iki tarafını e(-jlω0t) ile çarpıp, her iki tarafı bir periyot boyunca integre ederek elde edilebilir.

R.H.S. üzerinde toplama ve integralin sırasını değiştirerek, şunu elde ederiz:



k≠l olduğunda, (5) in sağ tarafı alt ve üst limitlerde değerlendirildiğinde sıfır verir. Diğer yandan, k=l ise, şunu elde ederiz:

Sonuç olarak, denklem (4) şuna indirgenir:



Bu, x(t) nin bir periyot boyunca ortalama değerini gösterir.
x (t) gerçek olduğunda,

Burada, * konjugatı ifade eder

Ayrık Zaman Alanı

Ayrık Fourier gösterimi, sürekli zaman alanındaki periyodik sinyallerin Fourier gösterimine çok benzer.
Temel periyodu N olan bir periyodik dizi x[n] in ayrık Fourier serisi gösterimi şöyledir:
Burada, Ck, Fourier katsayılarıdır ve şu şekilde verilir:

Bu, sürekli zaman alanında olduğu gibi türetilebilir.

Bir Periyodik Sinyalin Genlik ve Faz Spektrumu

Karmaşık Fourier Katsayısı, Ck şöyledir:

|Ck| karşı açısal frekans w grafiği, periyodik sinyal x(t) in genlik spektrumu olarak adlandırılır, ve Фk karşı w grafiği, x(t) in faz spektrumu olarak adlandırılır. İndeks k sadece tam sayıları aldığı için, genlik ve faz spektrumları sürekli eğriler değildir, ancak yalnızca ayrık frekanslarda kω0 görünür, bu nedenle ayrık frekans spektrumu veya çizgi spektrumu olarak adlandırılırlar.
Gerçek bir periyodik sinyal x (t) için C-k = Ck*. Böylece,