Fourier-Reihen auf einen Blick
Ein kontinuierliches Zeitsignal x(t) wird als periodisch bezeichnet, wenn es einen positiven, nicht null Wert von T gibt, für den
Wie wir wissen, kann jedes periodische Signal in harmonisch verwandte Sinusoiden oder komplexe Exponentialfunktionen zerlegt werden, vorausgesetzt, es erfüllt die Dirichletschen Bedingungen. Diese zerlegte Darstellung wird als FOURIER-REIHE bezeichnet.
Zwei Arten der Fourier-Reihen-Darstellung existieren. Beide sind äquivalent zueinander.
Beide Darstellungen liefern das gleiche Ergebnis. Abhängig vom Typ des Signals wählen wir eine der Darstellungen nach unserem Bedarf.
Ein periodisches Signal wird in Bezug auf die Exponentielle Fourier-Reihe in den folgenden drei Stufen analysiert:
Darstellung des periodischen Signals.
Amplituden- und Phasenspektrum eines periodischen Signals.
Leistungsinhalt eines periodischen Signals.
Darstellung des periodischen Signals
Ein periodisches Signal in der Fourier-Reihe kann in zwei verschiedenen Zeitbereichen dargestellt werden:
Kontinuierlicher Zeitbereich.
Diskreter Zeitbereich.
Kontinuierlicher Zeitbereich
Die komplexe Exponentielle Fourier-Reihe-Darstellung eines periodischen Signals x(t) mit der Grundperiode To ist gegeben durch
Dabei ist C der sogenannte Komplexe Fourier-Koeffizient und wird wie folgt berechnet:
Dabei steht ∫0T0 für das Integral über eine Periode, und 0 bis T0 oder –T0/2 bis T0/2 sind die üblichen Integrationsgrenzen.
Die Gleichung (3) kann hergeleitet werden, indem beide Seiten der Gleichung (2) mit e(-jlω0t) multipliziert und über eine Zeitspanne integriert werden.
Durch Vertauschung der Reihenfolge von Summierung und Integration auf der rechten Seite erhalten wir
Wenn k≠l, ergibt die rechte Seite von (5) bei den unteren und oberen Grenzen Null. Andererseits, wenn k=l, haben wir
Daher reduziert sich Gleichung (4) zu
was den Durchschnittswert von x(t) über eine Periode anzeigt.
Wenn x (t) real ist,
Dabei bedeutet * die Konjugation
Diskreter Zeitbereich
Die Fourier-Darstellung im Diskreten ist sehr ähnlich zur Fourier-Darstellung eines periodischen Signals im Kontinuierlichen.
Die diskrete Fourier-Reihendarstellung einer periodischen Folge x[n] mit der Grundperiode No ist gegeben durch
Dabei sind Ck, die Fourier-Koeffizienten und werden wie folgt berechnet:
Dies kann auf die gleiche Weise hergeleitet werden, wie wir es im kontinuierlichen Zeitbereich getan haben.
Amplituden- und Phasenspektrum eines periodischen Signals
Wir können den komplexen Fourier-Koeffizienten, Ck wie folgt ausdrücken:
Ein Plot von |Ck| in Abhängigkeit von der Winkelfrequenz ω wird als Amplitudenspektrum des periodischen Signals x(t) bezeichnet, und ein Plot von Фk in Abhängigkeit von ω wird als Phasenspektrum von x(t) bezeichnet. Da der Index k nur ganzzahlige Werte annimmt, sind die Amplituden- und Phasenspektren keine stetigen Kurven, sondern erscheinen nur bei diskreten Frequenzen kω0. Sie werden daher als diskrete Frequenzspektren oder Linienspektren bezeichnet.
Für ein reelles periodisches Signal x (t) gilt C-k = Ck
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