Анализ экспоненциального ряда Фурье

Ряд Фурье в кратком обзоре

Непрерывный сигнал во времени x(t) считается периодическим, если существует положительное ненулевое значение T, для которого

Как известно, любой периодический сигнал можно разложить на гармонически связанные синусоиды или комплексные экспоненты, при условии, что он удовлетворяет условиям Дирихле. Этот разложенный представление называется РИДОМ ФУРЬЕ.
Существует два типа представления ряда Фурье. Оба они эквивалентны друг другу.

• Экспоненциальный ряд Фурье

• Тригонометрический ряд Фурье

Оба представления дают одинаковый результат. В зависимости от типа сигнала, мы выбираем любое из представлений по нашему удобству.

Периодический сигнал анализируется в терминах экспоненциального ряда Фурье на следующих трех этапах:

1. Представление периодического сигнала.

2. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала.

3. Мощность периодического сигнала.

Представление периодического сигнала

Периодический сигнал в ряде Фурье может быть представлен в двух разных временных областях:

1. Непрерывная временная область.

2. Дискретная временная область.

Непрерывная временная область

Комплексное экспоненциальное представление ряда Фурье периодического сигнала x(t) с основным периодом To задается формулой

где C является комплексным коэффициентом Фурье и задается формулой,

где ∫0T0, обозначает интеграл за один период, а 0 до T0 или –T0/2 до T0/2 — это обычно используемые пределы для интегрирования.
Формулу (3) можно получить, умножив обе стороны формулы (2) на e(-jlω0t) и проинтегрировав обе стороны за период времени.

При изменении порядка суммирования и интегрирования на правой стороне, мы получаем



Когда k≠l, правая сторона (5) при вычислении на нижнем и верхнем пределах дает ноль. С другой стороны, если k=l, мы имеем

В результате формула (4) сводится к



что указывает на среднее значение x(t) за период.
Когда x (t) является действительным,

Где * обозначает сопряженное

Дискретная временная область

Представление Фурье в дискретной области очень похоже на представление Фурье периодических сигналов в непрерывной временной области.
Дискретное представление ряда Фурье периодической последовательности x[n] с основным периодом No задается формулой
где, Ck, являются коэффициентами Фурье и задаются формулой

Это можно вывести таким же образом, как мы выводили его в непрерывной временной области.

Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала

Можно выразить комплексный коэффициент Фурье, Ck как

График |Ck| в зависимости от угловой частоты ω называется амплитудным спектром периодического сигнала x(t), а график Фk в зависимости от ω называется фазовым спектром x(t). Поскольку индекс k принимает только целые значения, амплитудный и фазовый спектры не являются непрерывными кривыми, а появляются только на дискретных частотах kω0, они поэтому называются дискретными частотными спектрами или линейчатыми спектрами.
Для действительного периодического сигнала x (t) мы имеем C-k = Ck