Thời gian ổn định: Điều gì là nó? (Công thức và Cách tìm trong MATLAB)

Bài viết này giải thích về Thời gian ổn định bao gồm định nghĩa công thức tính toán cho hệ thống bậc nhất/bậc hai phương pháp đường đi gốc và triển khai bằng MATLAB.

Electrical4u

Trường dữ liệu: Điện Cơ Bản

Electrical Engineer

10Year<

China

Thêm chúng tôi trên Google

Thời gian ổn định là gì?

Thời gian ổn định của hệ thống động được định nghĩa là thời gian cần thiết để đầu ra đạt và ổn định trong dải dung sai cho phép. Nó được ký hiệu là Ts. Thời gian ổn định bao gồm độ trễ truyền dẫn và thời gian cần thiết để đạt đến vùng giá trị cuối cùng. Nó bao gồm thời gian để phục hồi điều kiện quá tải kết hợp với tốc độ thay đổi và ổn định gần dải dung sai.

Dải dung sai là phạm vi cho phép tối đa mà đầu ra có thể ổn định. Thông thường, các dải dung sai là 2% hoặc 5%.

Thời gian ổn định trong phản ứng bước của hệ thống bậc hai được thể hiện như trong hình dưới đây.

Thời gian ổn định

Công thức thời gian ổn định

Thời gian ổn định phụ thuộc vào tần số tự nhiên và phản ứng của hệ thống. Phương trình tổng quát của thời gian ổn định là;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Phản ứng bước đơn vị của hệ thống bậc hai được biểu diễn như sau;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Phương trình này được chia thành hai phần;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Để tính thời gian ổn định, chúng ta chỉ cần phần tử mũ vì nó triệt tiêu phần dao động của phần tử hình sin. Và tỷ lệ dung sai bằng với phần tử mũ.

$Tỷ lệ dung sai = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tỷ lệ dung sai \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tỷ lệ dung sai \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Cách tính thời gian ổn định

Để tính thời gian ổn định, chúng ta xem xét một hệ thống bậc nhất với phản ứng bước đơn vị.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Với phản ứng bước đơn vị,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Do đó,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Bây giờ, hãy tính giá trị cho A1 và A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Giả sử s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Giả sử s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Đối với lỗi 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Phương trình này cho thời gian ổn định cho hệ thống bậc nhất với đầu vào bước đơn vị.

Đối với hệ thống bậc hai, chúng ta cần xem xét phương trình sau;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Trong phương trình này, phần tử mũ là quan trọng để tìm giá trị của thời gian ổn định.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Bây giờ, chúng ta xem xét lỗi 2%. Do đó, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Giá trị của tỷ số giảm chấn (ξ) phụ thuộc vào loại hệ thống bậc hai. Ở đây, chúng ta xem xét một hệ thống bậc hai bị giảm chấn. Và giá trị của ξ nằm giữa 0 và 1.

Vì vậy, mẫu của phương trình trên gần bằng 1. Và để tính toán dễ dàng, chúng ta có thể bỏ qua nó.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Phương trình này chỉ có thể được sử dụng cho dải lỗi 2% và hệ thống bậc hai dưới giảm.

Tương tự, cho dải lỗi 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Đối với hệ thống bậc hai, trước khi tìm thời gian ổn định, chúng ta cần phải tính tỷ số giảm chấn.

Hệ thống bậc hai	Tỷ số giảm chấn (ξ)	Thời gian thiết lập (TS)
Độ giảm chấn thấp	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Không giảm chấn	ξ = 0	$T_S = \infty$
Giảm chấn tới hạn	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Quá giảm chấn	ξ > 1	Phụ thuộc vào cực chính

Thời gian ổn định theo phương pháp đường trắc căn

Thời gian ổn định có thể được tính bằng phương pháp đường trắc căn. Thời gian ổn định phụ thuộc vào tỷ số suy giảm và tần số tự nhiên.

Những đại lượng này có thể được xác định với sự giúp đỡ của phương pháp đường trắc căn. Và chúng ta có thể tìm ra thời gian ổn định.

Hãy hiểu thông qua một ví dụ.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Và Độ quá điều = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Từ đồ thị đường đi gốc, bạn có thể tìm các cực thống trị;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Bây giờ, chúng ta có giá trị của ξ và ωn,

$thời gian ổn định t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 giây$

Đồ thị đường đi gốc được lấy từ MATLAB. Để sử dụng, hãy dùng “sisotool”. Ở đây, bạn có thể thêm một ràng buộc cho phần trăm vượt quá là 20%. Và dễ dàng tìm được các cực chi phối.

Hình dưới đây cho thấy đồ thị đường đi gốc từ MATLAB.

Ví dụ về Đường Đi Gốc

Chúng ta có thể tìm thời gian ổn định với sự giúp đỡ của MATLAB. Phản ứng bước đơn vị của hệ thống này được hiển thị như hình dưới đây.

Thời Gian Ổn Định Trong MATLAB

Cách Giảm Thời Gian Ổn Định

Thời gian ổn định là thời gian cần thiết để đạt được mục tiêu. Và đối với bất kỳ hệ thống điều khiển nào, thời gian ổn định phải được giữ ở mức tối thiểu.

Giảm thời gian ổn định không phải là một nhiệm vụ dễ dàng. Chúng ta cần thiết kế một bộ điều khiển để giảm thời gian ổn định.

Như chúng ta biết, có ba loại bộ điều khiển; tỷ lệ (P), tích phân (I), vi phân (D). Với sự kết hợp của các bộ điều khiển này, chúng ta có thể đạt được yêu cầu của hệ thống.

Hệ số lợi ích của các bộ điều khiển (KP, KI, KD) được chọn theo yêu cầu của hệ thống.

Tăng hệ số lợi ích tỷ lệ KP, dẫn đến một thay đổi nhỏ trong thời gian ổn định. Tăng hệ số lợi ích tích phân KI, thời gian ổn định tăng. Và tăng hệ số lợi ích vi phân KD, thời gian ổn định giảm.

Do đó, hệ số dẫn xuất tăng để giảm thời gian thiết lập. Khi chọn giá trị hệ số của bộ điều khiển PID, nó có thể ảnh hưởng đến các đại lượng khác như thời gian tăng, quá độ và lỗi ổn định.

Cách tìm thời gian ổn định trong MATLAB

Trong MATLAB, thời gian ổn định có thể được tìm thấy bằng hàm bước. Hãy hiểu qua ví dụ.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Đầu tiên, chúng ta tính thời gian ổn định bằng phương trình. Để làm điều đó, so sánh hàm truyền này với hàm truyền tổng quát của hệ thống bậc hai.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Vì vậy,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$thời gian ổn định (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Giá trị này là một giá trị xấp xỉ vì chúng ta đã đưa ra các giả định khi tính toán phương trình thời gian ổn định. Tuy nhiên, trong MATLAB, chúng ta nhận được giá trị chính xác của thời gian ổn định. Do đó, giá trị này có thể hơi khác nhau trong cả hai trường hợp.

Bây giờ, để tính thời gian ổn định trong MATLAB, chúng ta sử dụng hàm step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Kết quả:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Và bạn sẽ nhận được biểu đồ phản hồi như được hiển thị trong hình dưới đây.

Tính toán thời gian ổn định trong MATLAB

Trong MATLAB, mặc định phần trăm dải lỗi là 2%. Bạn có thể thay đổi điều này trong biểu đồ cho dải lỗi khác nhau. Để làm điều đó, nhấp chuột phải vào biểu đồ > properties > options > “show settling time within ___ %”.

Trình chỉnh sửa thuộc tính MATLAB

Một cách khác để tìm thời gian ổn định bằng cách chạy một vòng lặp. Như chúng ta đã biết, đối với dải lỗi 2%, chúng ta xem xét phản hồi giữa 0.98 đến 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
thoi_gian_on_dinh = (S-1)*0.005

Kết quả:

thoi_gian_on_dinh = 1.1886

Tuyên bố: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.

Đóng góp và khuyến khích tác giả!

Chủ đề:

Hệ thống điện

Hệ thống điều khiển