Settleme Süresi: Nedir? (Formül ve MATLAB'da Nasıl Bulunur)

Bu makale Ayarlanma Süresi'ni kapsayan tanım formül birinci/ikinci derece sistemler için hesaplama kök yerleri yöntemi indirgeme ve MATLAB uygulamasını açıklamaktadır.

Electrical4u

Alan: Temel Elektrik

Electrical Engineer

10Year<

China

Google'da bizi ekleyin

Settleme Zamanı Nedir?

Dinamik bir sistemin settleme zamanı, çıkışın belirli bir tolerans bandında ulaşması ve stabil olması için gereken zamandır. T_s ile gösterilir. Settleme zamanı, yayılma gecikmesini ve son değer bölgesine ulaşmak için gereken zamanı içerir. Bu, yük aşımı durumunu toparlamayı ve tolerans bandına yakın düzgün bir şekilde yerleşmeyi de içerir.

Tolerans bandı, çıkışın yerleşebileceği maksimum izin verilen aralıktır. Genellikle tolerans bantları %2 veya %5'tir.

İkinci derece sistemin adım tepkisindeki settleme zamanı aşağıdaki figürde gösterilmiştir.

Settleme Zamanı

Settleme Zamanı Formülü

Settleme zamanı, doğal frekans ve sistemin tepkisine bağlıdır. Settleme zamanının genel denklemi;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

İkinci derece sistemin birim adım tepkisi şu şekilde ifade edilir;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Bu denklem iki parçaya ayrılır;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Durgunlaşma süresini hesaplamak için sadece üstel bileşene ihtiyaç vardır çünkü bu, sinusoidal bileşenin salınımsal kısmını ortadan kaldırır. Tolerans oranı da üstel bileşene eşittir.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Durgunlaşma Süresi Nasıl Hesaplanır

Durgunlaşma süresini hesaplamak için birim adım tepkisine sahip birinci derece sistemi dikkate alıyoruz.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Birim adım tepkisi için,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Bu nedenle,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Şimdi, A1 ve A2 değerlerini hesaplayın.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

s = 0 olduğunu varsayalım;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

s = -1/T olduğunu varsayalım;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

%2 hata için, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Bu denklem, birim basamak girdili birinci derece sistemlerin yerleşme süresini verir.

İkinci derece sistemler için aşağıdaki denklemi göz önünde bulundurmalıyız;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Bu denklemde, yerleşme süresinin değerini bulmak için üstel terim önemlidir.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Şimdi, %2 hata oranını düşünüyoruz. Bu nedenle, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Sönümleme oranı (ξ) değerinin değeri ikinci derece sistemin türüne bağlıdır. Burada, zayıf sönümlü bir ikinci derece sistem düşünüyoruz. Ve ξ'nin değeri 0 ile 1 arasında yer alır.

Bu nedenle, yukarıdaki denklemin paydası yaklaşık olarak 1'e eşittir. Kolay hesap yapmak için bunu ihmal edebiliriz.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Bu denklem sadece %2 hata aralığı ve aşırı sönümlenmiş ikinci derece sistemler için kullanılabilir.

Benzer şekilde, %5 hata aralığı için; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

İkinci derece sistemler için, yerleşme süresini bulmadan önce, sönümleme oranını hesaplamamız gerekmektedir.

İkinci Derece Sistem	Sönükleme Oranı (ξ)	Ayarlama Süresi (TS)
Az Sönük	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Sönük Olmayan	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritik Sönük	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Çok Sönük	ξ > 1	Baskın kutba bağlıdır

Kök Yerleşim Süresi

Yerleşim süresi kök yerleştirme yöntemi ile hesaplanabilir. Yerleşim süresi sönüm oranı ve doğal frekansa bağlıdır.

Bu miktarlar kök yerleştirme yöntemi yardımıyla elde edilebilir. Ve böylece yerleşim süresini bulabiliriz.

Bir örnek üzerinden anlayalım.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Ve Aşırı Değer = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Kök yerleri grafiğinden, hakim kutupları bulabilirsiniz;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Şimdi, ξ ve ωn değerlerini elde ettik,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Kök locus grafiği MATLAB'den elde edilmiştir. Bunun için "sisotool" kullanılır. Burada, yüzde aşırı geçişin %20'ye eşit olması için bir kısıtlama ekleyebilir ve hakim kutupları kolayca elde edebilirsiniz.

Aşağıdaki grafik, MATLAB'den elde edilen kök locus grafiğini göstermektedir.

Kök Yer Örneği

MATLAB yardımıyla durgunlaşma süresini bulabiliriz. Bu sistemin birim adım tepkisi aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

MATLAB'da Durgunlaşma Süresi

Durgunlaşma Süresini Nasıl Azaltırız

Durgunlaşma süresi hedefe ulaşmak için gereken zamanıdır. Herhangi bir kontrol sisteminde durgunlaşma süresi minimum tutulmalıdır.

Durgunlaşma süresini azaltmak kolay bir iş değildir. Durgunlaşma süresini azaltmak için bir kontrolör tasarlamamız gerekir.

Biliyoruz ki, üç tür kontrolör vardır; orantısal (P), integral (I) ve türevsel (D). Bu kontrolörlerin kombinasyonu ile sistemin gereksinimlerini gerçekleştirebiliriz.

Kontrolör kazançları (KP, KI, KD) sistemin gereksinimine göre seçilir.

Orantısal kazancı KP arttırmak, durgunlaşma süresinde küçük bir değişim sonuçlanır. Integral kazancı KI artırdıkça, durgunlaşma süresi artar. Türevsel kazancı KD artırdıkça, durgunlaşma süresi azalır.

Bu nedenle, türev kazancı ayar süresini azaltmak için artar. PID kontrolcüsünün kazan değerleri seçilirken, bu diğer niceliklerin de, örneğin yükseltme süresi, aşırı tepki ve Durağan hata gibi etkilenebilir.

MATLAB'da Ayarlanma Süresinin Bulunması

MATLAB'da, adımlama fonksiyonu ile ayarlanma süresi bulunabilir. Bir örnek üzerinden anlayalım.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Öncelikle, denklem ile ayarlanma süresini hesaplarız. Bunun için, bu aktarım fonksiyonunu ikinci derece sistemin genel aktarım fonksiyonu ile karşılaştırın.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Bundan dolayı,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Bu değer, yerleşme süresi denklemi hesaplanırken bazı varsayımlar yaptığımız için yaklaşık bir değerdir. Ancak MATLAB'da, yerleşme süresinin tam değerini elde ederiz. Bu nedenle, bu değer her iki durumda da biraz farklı olabilir.

Şimdi, MATLAB'da yerleşme süresini hesaplamak için adım fonksiyonunu kullanırız.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Çıktı:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Ve aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi bir yanıt grafiği elde edersiniz.

MATLAB'da yerleşme süresi hesaplama

MATLAB'da, hata bandının varsayılan yüzdesi %2'dir. Grafikte farklı bir hata bandı için bunu değiştirebilirsiniz. Bunun için, grafik üzerinde sağ tıklayın > özellikler > seçenekler > "___ % içinde yerleşme süresini göster".

Özellik Düzenleyici MATLAB

Durgunluk süresini bulmanın başka bir yolu döngü çalıştırarak bulunabilir. Bilindiği gibi, %2 hata bandı için, 0.98 ile 1.02 arasındaki yanıtı düşünürüz.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
 S=S-1;
end
durgunluk_suresi = (S-1)*0.005