Время установления: что это? (Формула и как найти его в MATLAB)

Эта статья объясняет время установления, включая его определение, формулу, расчет для систем первого и второго порядка, метод корневых годографов, упрощение и реализацию в MATLAB.

Electrical4u

Поле: Основы электротехники

Electrical Engineer

10Year<

China

Добавить нас в Google

Что такое время установления?

Время установления динамической системы определяется как время, необходимое для выхода, чтобы достичь и стабилизироваться в пределах заданной допускной полосы. Оно обозначается как Ts. Время установления включает временную задержку распространения и время, необходимое для достижения области своего конечного значения. Оно включает время восстановления после перегрузки, связанное с наклоном и стабилизацией близко к допускной полосе.

Допускная полоса — это максимальный допустимый диапазон, в котором может стабилизироваться выход. Обычно допускные полосы составляют 2% или 5%.

Время установления в импульсном отклике второго порядка показано на следующем рисунке.

Время установления

Формула времени установления

Время установления зависит от естественной частоты и отклика системы. Общее уравнение времени установления:

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Импульсный отклик системы второго порядка выражается как;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Это уравнение делится на две части;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Для расчета времени установления нам нужно только экспоненциальное звено, так как оно компенсирует колебательную часть синусоидального звена. Доля допуска равна экспоненциальному звену.

$Доля допуска = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Доля допуска \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$\ln \left( Доля допуска \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Как рассчитать время установления

Для расчета времени установления мы рассматриваем систему первого порядка с единичной ступенчатой реакцией.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Для единичной ступенчатой реакции,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Следовательно,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Теперь вычислим значения для A1 и A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Предположим, s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Предположим, s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Для погрешности в 2% 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Это уравнение дает время установления для системы первого порядка с единичным ступенчатым входом.

Для системы второго порядка необходимо учитывать следующее уравнение;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

В этом уравнении экспоненциальный член важен для определения времени установления.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Теперь мы рассматриваем погрешность в 2%. Следовательно, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Значение коэффициента демпфирования (ξ) зависит от типа системы второго порядка. Здесь мы рассматриваем недемпфированную систему второго порядка. Значение ξ лежит между 0 и 1.

Таким образом, знаменатель вышеуказанного уравнения близок к 1. Для упрощения расчета его можно пренебречь.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Это уравнение можно использовать только для полосы погрешности 2% и недогруженной системы второго порядка.

Аналогично, для полосы погрешности 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Для системы второго порядка перед определением времени установления необходимо рассчитать коэффициент демпфирования.

Система второго порядка	Коэффициент затухания (ξ)	Время установления (TS)
Недоамортизированная	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Без затухания	ξ = 0	$T_S = \infty$
Критически амортизированная	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Переамортизированная	ξ > 1	Зависит от доминирующего полюса

Время установления по методу корневого годографа

Время установления можно рассчитать с помощью метода корневого годографа. Время установления зависит от коэффициента демпфирования и собственной частоты.

Эти величины можно вывести с помощью метода корневого годографа. И мы можем найти время установления.

Давайте разберемся на примере.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

И перерегулирование = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Из диаграммы корневого локуса можно определить доминирующие полюса;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Теперь у нас есть значения ξ и ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Диаграмма корневого следа получена с использованием MATLAB. Для этого используется “sisotool”. Здесь можно добавить ограничение на процент перерегулирования, равный 20%, и легко получить доминирующие полюса.

На приведенном ниже рисунке показана диаграмма корневого следа, полученная с помощью MATLAB.

Пример корневого годографа

С помощью MATLAB можно найти время установления. Отклик системы на единичный ступенчатый сигнал показан на следующем рисунке.

Время установления в MATLAB

Как снизить время установления

Время установления — это время, необходимое для достижения целевого значения. Для любой системы управления время установления должно быть минимальным.

Снижение времени установления — непростая задача. Нам нужно спроектировать регулятор для уменьшения времени установления.

Как известно, существует три типа регуляторов: пропорциональный (P), интегральный (I) и дифференциальный (D). Сочетание этих регуляторов позволяет достичь требуемых характеристик системы.

Коэффициенты усиления регуляторов (KP, KI, KD) выбираются в соответствии с требованиями к системе.

Увеличение коэффициента усиления пропорционального регулятора KP приводит к небольшим изменениям во времени установления. Увеличение коэффициента усиления интегрального регулятора KI увеличивает время установления. Увеличение коэффициента усиления дифференциального регулятора KD уменьшает время установления.

Таким образом, коэффициент дифференцирования увеличивается, чтобы уменьшить время установления. При выборе значений коэффициентов ПИД-регулятора это может повлиять и на другие параметры, такие как время восходящего фронта, перерегулирование и статическая ошибка.

Как найти время установления в MATLAB

В MATLAB время установления можно определить с помощью функции step. Давайте рассмотрим это на примере.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Сначала мы вычисляем время установления по формуле. Для этого сравниваем эту передаточную функцию с общей передаточной функцией системы второго порядка.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Таким образом,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$время установления (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Это приблизительное значение, так как мы делали предположения при расчете уравнения времени установления. Однако в MATLAB мы получаем точное значение времени установления. Поэтому это значение может незначительно отличаться в обоих случаях.

Теперь, чтобы рассчитать время установления в MATLAB, мы используем функцию step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Результат:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Вы получаете график отклика, как показано на рисунке ниже.

Расчет времени установления в MATLAB

По умолчанию в MATLAB процентная полоса ошибки составляет 2%. Вы можете изменить это в графике для разных полос ошибок. Для этого щелкните правой кнопкой мыши по графику > свойства > опции > "показать время установления в пределах ___ %".

Редактор свойств MATLAB

Другой способ найти время установления путем запуска цикла. Как известно, для 2%-й полосы ошибки мы рассматриваем отклик в диапазоне от 0.98 до 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Вывод:

settling_time = 1.1886

Заявление: Уважайте оригинал, хорошие статьи стоят того, чтобы их делиться. Если имеется нарушение авторских прав, пожалуйста, свяжитесь для удаления.

Оставить чаевые и поощрить автора

Темы:

Энергетические системы

Системы управления

Время установления: что это? (Формула и как найти его в MATLAB)

Комментарии

Связанные Знания