Ya hemos discutido la serie de Fourier en forma exponencial. En este artículo discutiremos otra forma de la serie de Fourier, es decir, la Serie de Fourier Trigonométrica.
Representación de la serie de Fourier en forma trigonométrica
La serie de Fourier en forma trigonométrica se puede derivar fácilmente de su forma exponencial. La representación de la serie de Fourier exponencial compleja de una señal periódica x(t) con período fundamental To está dada por
Dado que el seno y el coseno pueden expresarse en forma exponencial, manipulando la serie de Fourier exponencial, podemos obtener su forma trigonométrica.
La representación de la serie de Fourier trigonométrica de una señal periódica x (t) con período fundamental T, está dada por
Donde ak y bk son los coeficientes de Fourier dados por
a0 es el componente DC de la señal y está dado por
Propiedades de la serie de Fourier
1. Si x(t) es una función par, es decir, x(- t) = x(t), entonces bk = 0 y
2. Si x(t) es una función impar, es decir, x(- t) = – x(t), entonces a0 = 0, ak = 0 y
3. Si x(t) es una función semisimétrica, es decir, x (t) = -x(t ± T0/2), entonces a0 = 0, ak = bk = 0 para k par,
4. Linealidad
5. Desplazamiento en el tiempo
6. Inversión en el tiempo
7. Multiplicación
8. Conjugación
9. Diferenciación
10. Integración
11. Convolución periódica
Relación entre los coeficientes de la forma exponencial y los coeficientes de la forma trigonométrica
Cuando x (t) es real, entonces a, y b, son reales, tenemos
Efecto del desplazamiento del eje de la señal
Al desplazar la onda a la izquierda o derecha con respecto al eje de tiempo de referencia t = 0, solo cambian los valores de fase del espectro, pero el espectro de magnitud permanece igual.
Al desplazar la onda hacia arriba o abajo con respecto al eje de tiempo, solo cambia el valor DC de la función.
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