Theorie der Windturbine und Betz-Koeffizient

Um die von einer Windkraftanlage gewonnene Leistung zu bestimmen, müssen wir uns einen Luftkanal wie in der Abbildung vorgestellt denken. Es wird angenommen, dass die Windgeschwindigkeit am Einlass des Kanals V1 und die Luftgeschwindigkeit am Auslass des Kanals V2 beträgt. Angenommen, eine Masse m an Luft durchläuft diesen imaginären Kanal pro Sekunde.
Durch diese Masse beträgt die kinetische Energie des Windes am Einlass des Kanals,

Ebenso beträgt die kinetische Energie des Windes am Auslass des Kanals aufgrund dieser Masse,


Daher ändert sich die kinetische Energie des Windes während des Flusses dieser Menge an Luft vom Einlass zum Auslass des imaginären Kanals um,

Wie bereits erwähnt, durchläuft eine Masse m an Luft diesen imaginären Kanal in einer Sekunde. Daher entspricht die aus dem Wind gewonnene Leistung der während des Flusses der Masse m an Luft vom Einlass zum Auslass des Kanals veränderten kinetischen Energie.

Wir definieren Leistung als die Änderung der Energie pro Sekunde. Daher kann diese gewonnene Leistung als folgt geschrieben werden,

Da eine Masse m an Luft in einer Sekunde durchläuft, bezeichnen wir die Menge m als Massendurchflussrate des Windes. Wenn wir das sorgfältig bedenken, können wir leicht verstehen, dass die Massendurchflussrate am Einlass, am Auslass und an jeder Querschnittsfläche des Luftkanals gleich sein wird. Da die gleiche Menge an Luft, die in den Kanal eintritt, auch aus dem Auslass herauskommt.
Wenn Va, A und ρ die Geschwindigkeit der Luft, die Querschnittsfläche des Kanals und die Dichte der Luft an den Turbinenschaufeln sind, dann kann die Massendurchflussrate des Windes dargestellt werden als

Nun, indem wir m durch ρVaA in Gleichung (1) ersetzen, erhalten wir,

Nun, da die Turbine in der Mitte des Kanals platziert ist, kann die Windgeschwindigkeit an den Turbinenschaufeln als mittlere Geschwindigkeit der Ein- und Ausgangsgeschwindigkeiten betrachtet werden.

Um die maximale Leistung aus dem Wind zu gewinnen, müssen wir Gleichung (3) nach V2 differenzieren und sie gleich Null setzen. Das bedeutet,

Betz-Koeffizient

Aus der obigen Gleichung ergibt sich, dass die theoretisch maximale aus dem Wind gewonnene Leistung 0,5925 des gesamten kinetischen Energies beträgt. Dieser Bruchteil wird als Betz-Koeffizient bezeichnet. Diese berechnete Leistung basiert auf der Theorie der Windkraftanlagen, aber die tatsächlich von dem Generator erhaltene mechanische Leistung ist geringer, was auf Reibungsverluste, Lagerschäden und aerodynamische Unzulänglichkeiten der Turbinenkonstruktion zurückzuführen ist.

Aus Gleichung (4) geht hervor, dass die gewonnene Leistung

1. direkt proportional zur Luftdichte ρ. Je höher die Luftdichte, desto höher ist die Leistung der Turbine.

2. direkt proportional zur gefegten Fläche der Turbinenschaufeln. Wenn die Länge der Schaufel zunimmt, nimmt der Radius der gefegten Fläche entsprechend zu, wodurch die Turbinenleistung steigt.

3. Die Turbinenleistung variiert auch mit der Windgeschwindigkeit V3. Das bedeutet, wenn sich die Windgeschwindigkeit verdoppelt, erhöht sich die Turbinenleistung um das Acht