Come Trovare il Guadagno in Corrente Continua di una Funzione di Trasferimento (Esempi Inclusi)

Questo articolo spiega la Funzione di Trasferimento, coprendo la definizione (rapporto di Laplace output/input), il guadagno a regime, i sistemi del primo ordine e il calcolo del guadagno a regime con esempi continui e discreti.

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Campo: Elettricità di base

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Cos'è una Funzione di Trasferimento

Una funzione di trasferimento descrive la relazione tra il segnale di uscita di un sistema di controllo e il segnale di ingresso. Un diagramma a blocchi è una visualizzazione del sistema di controllo che utilizza blocchi per rappresentare la funzione di trasferimento e frecce per rappresentare i diversi segnali di ingresso e uscita.

Funzione di Trasferimento

La funzione di trasferimento è una rappresentazione conveniente di un sistema dinamico lineare tempo-invariante. Matematicamente, la funzione di trasferimento è una funzione di variabili complesse.

Per qualsiasi sistema di controllo, esiste un ingresso di riferimento noto come eccitazione o causa che opera attraverso una funzione di trasferimento per produrre un effetto risultante in un'uscita controllata o risposta.

Quindi, la relazione di causa ed effetto tra l'uscita e l'ingresso è collegata tra loro attraverso una funzione di trasferimento. Nella Trasformata di Laplace, se l'ingresso è rappresentato da $R(s)$ e l'uscita è rappresentata da $C(s)$ .

La funzione di trasferimento del sistema di controllo è definita come il rapporto della trasformata di Laplace della variabile di uscita alla trasformata di Laplace della variabile di ingresso, assumendo che tutte le condizioni iniziali siano nulle.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Cos'è il guadagno DC?

La funzione di trasferimento ha molte interpretazioni fisiche utili. Il guadagno a stato stazionario di un sistema è semplicemente il rapporto tra l'uscita e l'ingresso in stato stazionario, rappresentato da un numero reale compreso tra meno infinito e più infinito.

Quando un sistema di controllo stabile viene stimolato con un ingresso a gradino, la risposta a stato stazionario raggiunge un livello costante.

Il termine guadagno DC è descritto come il rapporto tra l'ampiezza della risposta a stato stazionario e l'ampiezza dell'ingresso a gradino.

Guadagno DC

Il guadagno DC è il rapporto tra l'ampiezza della risposta a stato stazionario e l'ampiezza dell'ingresso a gradino. Il teorema del valore finale dimostra che il guadagno DC è il valore della funzione di trasferimento valutata a 0 per funzioni di trasferimento stabili.

Risposta temporale dei sistemi del primo ordine

L'ordine di un sistema dinamico è l'ordine della derivata più alta della sua equazione differenziale governativa. I sistemi del primo ordine sono i sistemi dinamici più semplici da analizzare.

Per comprendere il concetto di guadagno allo stato stazionario o guadagno DC, considera una funzione di trasferimento generale del primo ordine.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ può anche essere scritto come

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Qui,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ viene chiamata costante di tempo. K è chiamato guadagno DC o guadagno a stato stazionario

Come trovare il guadagno DC di una funzione di trasferimento

Il guadagno DC è il rapporto tra l'uscita a stato stazionario di un sistema e l'ingresso costante, cioè lo stato stazionario della risposta al gradino unitario.

Per trovare il guadagno DC di una funzione di trasferimento, consideriamo sia sistemi LTI (Linear Time-Invariant) continui che discreti.

Il sistema LTI continuo è dato da

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

Il sistema LTI discreto è dato da

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Utilizzare il teorema del valore finale per calcolare lo stato stazionario della risposta al gradino unitario.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ è stabile e tutti i poli si trovano sul lato sinistro

Di conseguenza,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

La formula del teorema del valore finale utilizzata per un sistema LTI continuo è

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

La formula del teorema del valore finale utilizzata per un sistema LTI discreto è

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

In entrambi i casi, se il sistema ha un'integrazione, il risultato sarà $\infty$ .

Il guadagno in corrente continua è il rapporto tra l'ingresso a stato stazionario e la derivata dello stato stazionario dell'uscita, che può essere ottenuto tramite differenziazione dell'uscita ottenuta. È quasi lo stesso per entrambi i sistemi continui e discreti.

Differenziazione nel Dominio Continuo

Nel sistema continuo o dominio 's', l'equazione (1) viene differenziata moltiplicando l'equazione per 's'.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

dove $\dot{Y(s)}$ è la trasformata di Laplace di $\dot{y(t)}$

Differenziazione nel Dominio Discreto

La derivata nel dominio discreto può essere ottenuta mediante una prima differenza.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Pertanto, per differenziare nel dominio discreto, dobbiamo moltiplicare $\frac{z-1}{T_{z}}$

Esempi numerici per trovare il guadagno DC

Esempio 1

Consideriamo la funzione di trasferimento continua,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Per trovare il guadagno DC (guadagno a stato stazionario) della funzione di trasferimento sopra, applichiamo il teorema del valore finale

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Ora il guadagno DC è definito come il rapporto tra il valore stazionario e l'ingresso a gradino unitario applicato.

Guadagno DC = $\frac{2}{1}=2$

È quindi importante notare che il concetto di guadagno DC è applicabile solo a quei sistemi che sono stabili per natura.

Esempio 2

Determinare il guadagno DC per l'equazione

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

La risposta al gradino dell'equazione di trasferimento sopra riportata è

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Ora, applica il teorema del valore finale per trovare il guadagno DC.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

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Sistemi Elettrici

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