Pagsasalita at Paliwanag ng Schrödinger Wave Equation

Electrical4u

Larangan: Pangunahing Elektrikal

China

Ano ang Schrodinger Equation?

Ang Schrodinger equation (kilala rin bilang wave equation ni Schrödinger) ay isang partial differential equation na naglalarawan ng dinamika ng mga sistema ng quantum mechanics sa pamamagitan ng wave function. Ang trayektoriya, posisyon, at enerhiya ng mga sistemang ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-solve ng Schrödinger equation.

Ang lahat ng impormasyon para sa subatomic particle ay nakakodipiko sa loob ng isang wave function. Ang wave function ay matutugunan at maaaring ma-solve gamit ang Schrodinger equation. Ang Schrodinger equation ay isa sa mga pundamental na axioms na ipinakilala sa undergraduate physics. Ito ay naging karaniwang makita rin ang Schrödinger equation na ipinakilala sa electrical engineering syllabus sa mga unibersidad dahil ito ay may aplikasyon sa semiconductors.

Naririto ang masasakit, ito lamang ay inilaan bilang isang postulate sa parehong kaso at hindi kailanman deribado sa anumang mahalagang paraan. Ito ay medyo hindi nakakasatisfy dahil halos lahat ng iba pang itinuturo sa undergraduate quantum physics ay itinayo sa pundasyong ito. Sa artikulong ito, deribado natin ang equation mula sa simula at gagawin ko ang aking pinakamahusay na pagsikap upang ipakita ang bawat hakbang na ginawa.

Interesanteng sapat, ang mga argumento na gagawin natin ay ang parehong ginawa ni Schrödinger mismo kaya maaari mong makita ang mga linya ng pag-iisip ng isang giant noong panahon niya. Bilang isang paalala, narito ang time-dependent Schrödinger equation sa 3-dimensions (para sa non-relativistic particle) sa kanyang kagandahan:

Quantum Physics and Waves

Sinaunang pisika – ngunit ito ay nagsilbing mabuti sa atin para sa ilang panahon (isipin ang Newtonian mechanics, Maxwell’s equations, at special relativity).

Ngunit, tulad ng ipinakita sa aming mga naunang artikulo, ang mga resulta ng eksperimento sa paglipas ng siglo ay hindi masyadong makitid kumpara sa kilalang pisika noong panahon. Ang aming mga artikulo tungkol sa double slit experiment at hanggang sa iba't ibang paraan ang epekto ng fotoelektriko ay mga resulta ng eksperimento na hindi tugma nang maayos sa kilalang pag-unawa noong panahon.

Ngunit bakit? Upang iyon ay simpleng isabihin, sa klasiikal na pisika, mayroong dalawang entidad, partikulo at buntot-pusa. Ang mga katangian ng parehong entidad na ito ay maaaring ilarawan bilang sumusunod:

Partikulo: lokal na buntot ng enerhiya at momentum na may masa $m$ .

Buntot-pusa: mga pagbabago na nagkalat sa espasyo at lumalakbay sa panahon. Maaari silang ilarawan gamit ang isang punsiyong buntot-pusa $\psi(\vec{r}, t)$ na naglalarawan ng buntot-pusa sa espasyo at panahon.

Ito ay nagdudulot sa mga sorpresang resulta na natuklasan namin sa aming Photoelectric Emission artikulo. Natuklasan namin na ang elektron ay nagpapakita ng parehong mga katangian. Ito ay lubhang kontradiktoryo sa kilalang pag-unawa noong panahon dahil ang dalawang entidad ay itinuturing na walang kinalaman sa isa't isa.

Kakaiba diba? Sa oras na ito, ang ilang talagang may impluwensyang mga tauhan sa pisika ay nagsimulang mag-realize na may gap sa kaalaman, at malaking paglabas ng bagong kaalaman nang si Louis de Broglie ay nag-ugnay ng momentum (para sa partikulo) sa haba ng buntot-pusa (para sa mga buntot-pusa) na ibinigay ng

$\begin{equation*} p = h/\lambda. \end{equation*}$

Kaya, mula sa Photoelectric Emission alam natin na ang pag-absorb at pag-emit ng enerhiya ng mga photon (na hindi pa tiyak kung partikulo o bala) ay may enerhiyang ibinibigay

$\begin{equation*} E = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

Kung saan $\hbar = h/2\pi$ at $\omega=2\pi f$ . Nasa eksaktong yugto tayo kung saan nasa Schrödinger bago siya nag-derive ng kanyang kilalang equation. Pero saan tayo magsisimula? Alamin natin na ang mga elektron at photon ay nagpapakita ng katulad ng bala at katulad ng alon. Walang mali kung magsisimula tayo sa isang pangkalahatang equation na dapat sundin ng lahat ng mga alon at pagkatapos ay ipapasok ang pisika ng partikulo upang makita kung may resulta.

Kung paano I-derive ang Wave Equation

Ang disturbance $\psi(\vec{r}, t)$ sumusunod sa wave equation. Tandaan, ang elektron ay nagpapakita ng katulad ng alon at may electromagnetic charge. Kaya, para sa ngayon, tingnan natin ang mga electromagnetic fields. Sa scenario na ito, ang Maxwell’s equations ang naglalapat at narito sila sa kanilang kabuuang gloria:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} } \\ \nabla \times \vec{B} &= -\mu_0 \left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial{\vec{E}}}{\partial{t}} \right)\\ \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \end{align*}$

Kung saan ang $c$ ay ang bilis ng liwanag sa vacuum, $\vec{E}$ ay ang elektrikong field at $\vec{B}$ ay ang magnetic field. Ang unang ekwasyon sa itaas ay ang pundasyon ng mga electric generators, inductors, at transformers at ito ang pagkatawan ng Faraday’s Law.

Samantala, isa sa mga implikasyon mula sa $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ ay na walang magnetic monopoles ang umiiral. Ang pag-unawa sa deribasyon ng mga ekwasyon at ang pisikal na kahulugan nito ay nagbibigay ng isang maalam na engineer. Ngayon, ipinapakita natin ang ekwasyon na dapat sundin ng anumang electromagnetic wave sa pamamagitan ng pag-apply ng curl sa Equation 4:

$\begin{align*} \nabla \times \vec{E} &= - \frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= - \frac{\partial{(\nabla \times \vec{B})}} {\partial{t} }\\ \implies \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} } \end{align*}$

Ngayon, maaari nating gamitin ang napaka-kilalang (at madaling mapatunayan) vector identity: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ kung saan ang $T$ ay isang placeholder vector. Ipaglaban natin sa aming maliliit na ekwasyon ngayon:

$\begin{align*} \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \implies - \nabla^2 \vec{E} &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2} }\\ \nabla^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\vec{E}}}{\partial{t^2}} & = 0 \end{align*}$

Ang resulta na nasa aming kamay ay ang ekwasyon ng alon ng electromagnetismo sa tatlong dimensyon. Ang ekwasyong ito ay ipinakita hindi lamang sa alon ng electromagnetismo kundi pati na rin sa akustika, seismic waves, sound waves, water waves, at fluid dynamics.

Paano Derivein ang Schrödinger Equation

Mga Solusyong Plane Wave sa Ekwasyon ng Alon

Nagsisimula sa ekwasyon ng alon para sa 1-dimensyon (madali itong heneralin sa 3 dimensyon pagkatapos dahil ang lohika ay magagamit sa lahat ng $x, y$ , at $z$ dimensyon.):

$\begin{equation*} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} \Longrightarrow \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{E}} }{\partial^2{t}} = 0 \end{equation*}$

Sa tunay na buhay, ito ay isang ikalawang order na partial differential equation at nasasapat ito sa mga solusyong plane wave:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{i(kx - \omega t)} \text{ (suriin mo ito para sa sarili!). } \end{equation*}$

Alam natin mula sa normal na mekanika ng alon na $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ at $\omega = 2 \pi f$ . Ngayon, gamitin natin ang trabaho ni Einstein at Compton at isalin ang katotohanan na ang enerhiya ng isang photon ay ibinibigay ng $\mathsf{E} = \hbar \omega$ at mula kay de-Broglie na $p = h / \lambda = \hbar k$ . Mas maaari nating i-massage ang aming solusyon ng plane wave upang:

$\begin{equation*} E(x, t) = E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} \end{equation*}$

Ito ang ekwasyon ng plane wave na naglalarawan ng isang photon. Isubstitute natin ang ekwasyong ito sa aming wave equation at tingnan natin kung ano ang makikita natin!

$\begin{align*} \left(\frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}}\right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \implies -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E} ^2}{c^2} \right) E_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0 \end{align*}$

Sa ibang salita, $\mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ na napakaganda dahil alam natin mula sa espesyal na relativity na ang kabuuang enerhiya para sa isang relativistic na partikulo na may masa $m$ ay:

$\begin{equation*} \mathsf{E}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4 \end{equation*}$

At hanggang ngayon, ang pinag-uusapan natin ay ang photon lamang na walang masa $(m=0)$ ! Kaya palawakin natin ang aming pag-unawa at ilapat ang kabuuang relativistic na enerhiya para sa isang partikulo na may masa (tulad ng elektron halimbawa) at baguhin ang pangalan ng aming ekwasyon sa $\Psi$ dahil kaming mga ballers.

$\begin{equation*} -\frac{1}{\hbar^2} \left( p^2 - \frac{\mathsf{E}^2}{c^2} + m^2c^2 \right) \Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Ang ekwasyong ito ay nakuha mula sa pag-substitute ng plane wave equation para sa photon sa wave equation. Gayunpaman, dahil gusto natin ngayon na masolusyunan ang kabuuang relativistic na enerhiya para sa isang partikulo na may masa, kailangan nating baguhin ang wave equation nang kaunti. Ito ay dahil ang wave equation ay hindi dapat ganap na mag-apply sa aming bagong $\Psi$ na naglalarawan ng mga partikulo at mga wave. Ngayon, maaari nating backsolvein ang isang operator upang makakuha ng ekwasyon sa itaas, at ibinibigay ito ng:

$\begin{equation*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} = 0 \end{equation*}$

Paglutas para sa mga Partikulo na may Masa sa Wave Equation

Narito, nais nating gawing ilang mga aproksimasyon sa buong enerhiya na inilarawan namin gamit ang $\mathsf{E}$ para sa isang partikulo na may momentum at masa. Ipaglabas natin ang pormula nang kaunti upang mabigyan natin ito ng ilang mga aproksimasyon.

$\begin{align*} \mathsf{E} ^2 &= p^2c^2 + m^2c^4\\ \mathsf{E} &= \sqrt{\left( p^2c^2 + m^2c^4 \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4(\frac{p^2}{c^2} + m^2) \right)}\\ &= \sqrt{\left( c^4 m^2(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1) \right)}\\ &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)} \end{align*}$

Ang layunin ng pag-manipulate na ito ay upang makuha ang ekwasyon sa anyo ng $\sqrt{1 + x}$ dahil kung i-expand natin ang Taylor Series ng ekwasyong ito, makukuha natin:

$\begin{equation*} \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + ... \end{equation*}$

Kapag ang $x$ ay maliit, ang bahagi lamang na natitira sa Taylor expansion ay ang $O(1)$ term. Sa aming formula ng enerhiya, $x = \frac{p^2}{m^2 c^2 } =\left( \frac{p}{mc }\right)^2$ . Maaari nating gamitin ang katotohanan na $p = mv \ll mc$ para sa anumang hindi lumilipad sa bilis ng liwanag (mangyaring hanapin ako kung makakahanap ka ng anumang hindi sumasapat sa ito)! Kaya ang term na ito ay talagang nababawasan sa:

$\begin{align*} \mathsf{E} &= mc^2\sqrt{\left(\frac{p^2}{m^2 c^2} + 1 \right)}\\ & \approx mc^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{p^2}{m^2 c^2} \right)\\ & = mc^2 + \frac{p^2}{2m} = mc^2 + E_{\text{kinetic}} \end{align*}$

Kung saan

$\begin{equation*} E_\text{kinetic} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{(mv)^2}{m} = \frac{p^2}{2m} \end{equation*}$

Ang normal na kinetic energy na nakikita natin mula sa high school physics. Ngayon bumalik tayo sa wave function mula noong huli, ipasok natin ang bagong impormasyon at tingnan natin kung ano ang magiging resulta nito:

$\begin{align*} \Psi(\vec{r},t) &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p \vec{r} - \mathsf{E} t)}\\ &= \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - mc^2t - E_{\text{kinetic}}t)}\\ &= e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}\\ \end{align*}$

Ang dahilan kung bakit kami nagsimulang maghiwalay ng dalawang termino ay dahil ang unang termino $e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}$ (batay lamang sa bilis ng liwanag) ay mas mabibigat na osilatoryo kaysa sa pangalawang termino at hindi kinakatawan ang partikulo-bukol na hinahanap natin. Kaya upang paligidin itong pagkakaiba, ipinapasya natin na:

$\begin{equation*} \Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) \end{equation*}$

Kung saan namin itinakda na:

$\begin{equation*} \psi(\vec{r}, t) =\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(p\vec{r} - E_{\text{kinetic}}t)}. \end{equation*}$

Ngayon, hahanapin natin ang unang at ikalawang parsiyal na derivative ng $\Psi(\vec{r},t)$ at tingnan kung ano ang makukuha natin. Ang unang:

$\begin{equation*} \frac{\partial{\Psi}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \frac{\partial \psi(\vec{r}, t)}{\partial t} \end{equation*}$

at ang ikalawa:

$\begin{equation*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} = \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \end{equation*}$

Dapat nating tandaan na ang huling termino na may ikalawang parsiyal na derivative ay napakaliit dahil sa kawalan ng $c^2$ na may order of magnitude, at kaya sa pamamagitan ng pag-approximate, ang aktwal na ikalawang derivative ay ibinibigay ng:

$\begin{align*} \frac{\partial^2{\Psi}}{\partial t^2} \approx \left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) \end{align*}$

Ang nakakatuyong dahilan kung bakit kinuha namin ang dalawang parsiyal na derivative ay upang maitala sila sa equation na naglalarawan ng wave function na ito:

Ngunit bago natin ito gawin, ayusin natin ang formula na ito at matutuldukan natin ng isang equation na tinatawag na Klein-Gordon equation:

$\begin{align*} \left( \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}} - \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{t}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\Psi_0 e^{\frac{i}{\hbar}(px - \mathsf{E} t)} &= 0\\ \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(x, t) &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(x, t)}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Ngayon, maaari natin itong madaling heneralisain sa 3-dimensyon sa pamamagitan ng pagbabago ng ekwasyong ito sa isang vector equation (lahat ng hakbang na ginawa natin para makuha ang pormula na ito ay maglalapat para sa lahat ng $x,y$ , at $z$ .)

$\begin{equation*} \nabla^2 \Psi(\vec{r}, t) - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi(\vec{r}, t) = \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi(\vec{r}, t)}} }{\partial^2{t}} \end{equation*}$

Ang ekwasyong ito ay kilala bilang Klein-Gordon equation para sa libreng partikulo. Ang ekwasyong ito ay relatiivistiko dahil ang termino ng enerhiya nito ay hindi gumagamit ng mga asumpsiyon na ginawa natin sa kaunting $\sqrt{1+x}$ Taylor expansion.

Ngayon, hayaan nating simplipikahin ang Klein-Gordon equation (bumalik sa 1-D at ilapat ang aming bagong formula ng enerhiya) at darating tayo sa matagal nang inaasam na Schrödinger Equation:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{x}} - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \Psi &= \frac{1}{c^2} \frac{ {\partial^2{\Psi}} }{\partial^2{t}} \end{align*}$

Ilapat natin ang aming bagong wave function na ibinigay ng $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi(\vec{r}, t)$ kung saan alam natin kung ano ang unang at ikalawang deribatibo sa respeto ng oras:

$\begin{align*} \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{1}{c^2}\left( -\frac{m^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

Ngayon, ang kailangan natin gawin ay isang simpleng rearrange upang makakuha ng Schrödinger Equation sa tatlong dimensyon (tandaan na $\frac{1}{i} = -i$ ):

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \end{equation*}$

Kung saan ang argumento ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagsusuri ng pagkakatulad ng classical Hamiltonian na ang termino sa kanang bahagi ng ekwasyon ay naglalarawan ng kabuuang enerhiya ng wave function.

Sa aming deribasyon, inasumos namin na $V(\vec{r},t)$ ay 0 at ang kinseider lamang ang kinetic energy. Alam natin na ang potential ay purely additive sa kanyang spatial variations at kaya, ang buong Schrödinger Equation sa tatlong dimensyon kasama ang potential ay ibinigay ng:

$\begin{equation*} i \hbar \frac{\partial{}}{\partial{t}} \Psi(\vec{r},t) = \left[\frac{-\hbar^2}{2 m} \nabla^2 +V(\vec{r},t)\right] \Psi(\vec{r},t). \end{equation*}$

Iyon na! Narito na ang buong Schrodinger equation para sa non-relativistic particle sa tatlong dimensyon. Kung gusto ninyo ang post na ito at gustong makita pa ng mga tulad nito, mangyaring mag-email sa amin upang ipaalam ninyo.

Pagbibigay ng Talaan

Gasiorowicz, S. (2019). Quantum Physics. 2nd ed. Canada: Hamilton Printing, pp.1-50.
Griffiths, D. (2019). Quantum Physics. 3rd ed. University Printing House, Cambridge: Cambridge University Press.
Ward, D. and Volkmer, S. (2019). How to Derive the Schrodinger Equation. [online] arXiv.org. Available at: https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [Accessed 29 May 2019].
Shankar, R. (1980).Principles of Quantum Mechanics. 1st ed. New York: Springer Science, pp.1-40.

Pahayag: Respeto sa orihinal na mga artikulo na may halaga para ibahagi, kung mayroong labag sa karapatan mangyaring makipag-ugnayan upang i-delete.

Magbigay ng tip at hikayatin ang may-akda!

Mga Paksa:

Mga Artikulo sa Pisika

Teoryang Kuántum

Tungkol sa mga eksperto

Electrical4u

China

Larangan ng kahusayan

Basic Electrical

Artikulong Propesyonナル専门文章

607